理论玄学

引论/基本原理

这篇文章旨在讨论这样的问题：如何把玄学适当地量化？或者说对于这种信仰的混合物，我们该如何提取其中的基本原则？人们众说纷纭，在这里我只是给出一种介于严谨和直觉之间的数学化方案.

对于一个可观测量$X$而言，我们希望简单地按概率权重求和来确定其期望值，即

$$
\mathbb{E}[X]=\int d\mu[X]X=\int d[X]e^{-S}X
$$

其中$ \mu,d\mu[X]=d[X]e^{-S} $为概率测度，而其自由度依赖于所谓“欧气”$\epsilon$，故我们选择了一个标准测度$d[X]$并将依赖$\epsilon$的部分从$d\mu$中提出来，为了简化，我们暂且将其它参数收集至$\lambda$中，并试着求解$\epsilon$为定值条件下$S$与$X$的关系.

(近似)Principle: 按照现实的惨痛教训来看,大自然应当遵守所谓"最小实际值原理",即$X$发生时最大的可能是取最小值(在差一个符号情况下可以是最大值,在其它特殊情况下取稳定值),即$\delta(e^{-S})=0$.

这个假设显然等价于:

$$
\delta S=0
$$

的解代表了最坏的结果.

例子一则

我们来考虑一个最简单的模型,即瞬间发生的事件,包括走路摔跤等等,其一个特质是概率仅与一个特定时刻的变量状态$x_0$和欧气$\epsilon$相关,我们不妨取$S=\epsilon x_0^2$,那么显然的$x=0$时事情最坏.

除此之外,我们还可以通过计算期望来考察事情到底有多大可能变坏,为了得到不平凡的结果,我们假设$x_0 \ge 0 $,注意到我们定义$S$时并没有保证在全空间上积分为$1$,为此,我们定义归一化常数$N^{-1}=\int_0^{\infty}e^{-\epsilon x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}}$,而计算可得$\int_0^{\infty}e^{-\epsilon x^2}xdx=\frac{1}{2}$,于是

$$
E[x_0]=\sqrt{\frac{\epsilon}{\pi}}
$$