对于一个群$G$，我们可以通过以下单纯对象来记录其信息：
$$
\mathtt{B}G:\mathtt{B}G_n=G^{\times n}
$$
face and degenerate maps由显然的乘积和投影给出，比如说一个2-simplex由一个三元组$(a,b,c)$给出，其中$c=a\cdot b$，也就是说1-simplex记录了群元，2-simplex记录了乘法信息，而3-simplex记录了结合律.
对于一个普通群，到3-simplex就可以完整地保存它的信息，而更高阶的部分则是方便我们思考它的形变信息，具体来说，是方便我们过度到无穷群胚中:
$$
\mathtt{B}:\mathtt{Grp}\rightarrow\infty\mathtt{Grpoid}\cong\mathrm{KanComplex}
$$
在其中更便于我们思考它的同伦.
接着我们考虑$G$是一个李群，我们可以认为它的李代数是它原点附近的无穷小元：
$$
\mathfrak{g}\cong T_eG\cong[\mathbb{D}\times\lbrace e\rbrace,G]\cong G^{\mathbb{D}}_e
$$
其中$\mathbb{D}=\mathrm{Spec}\frac{\mathbb{R}[\varepsilon]}{(\varepsilon^2)}$.
我们知道有积分曲线诱导的映射$\mathrm{exp}:\mathfrak{g}\rightarrow G$，我们这时可以期望它在$\mathfrak{g}$上诱导一个乘法，具体通过以下公式实现:
$$
e^{a\cdot b}=e^ae^b
$$
这里有存在性与唯一性的问题，不过在$a,b$生成的自由李代数上总是可行
注意到其实我们有
$$
[\mathbb{D},G\times G]\cong[\mathbb{D},G]\times[\mathbb{D},G]
$$
而一个光滑函数$v:\mathbb{D}\rightarrow G$应当对于它的pullback:
$$
v^{*}:C^{\infty}(G)\rightarrow \frac{\mathbb{R}[\varepsilon]}{(\varepsilon^2)}\ \quad f\mapsto f(e)+\partial f(e)\varepsilon
$$
稍加计算我们注意到$G$的乘法在这个无穷小邻域上诱导的实则是加法，这实际上表示$C^{\infty}(G^{\mathbb D}_e)\cong \mathbb{R}\oplus \mathfrak{g}^{*}$，符合我们的预期.
这还不能让我们满意，因为$\mathbb{D}$一次只能看见在某个方向上的形变信息，虽然这对于构造切空间来说够用了，但我们还想提取它的更多信息，为此我们考虑$\mathbb{D}^k$，由$\mathrm{Hom}$函子保持极限，它的光滑函数层应当定义为:
$$
C^{\infty}(\mathbb{D}^k)\cong(\frac{\mathbb{R}[\varepsilon]}{(\varepsilon)^2})^{\otimes k}
$$
为了省略，我们把每一份的生成元记为$\varepsilon_i$并省略$\otimes$.
但还有一个问题，既然这是实数的无穷小版本，那我们应该期望它是交换的(也许微分形式的例子在这里给了我们另一种直觉，但在这里没有为了求面积或体积导致的定向问题)，所以我们应该把$\mathbb{D}^k$的光滑函数层修正为$\mathrm{Sym}_n{C^{\infty}(\mathbb{D})}$.

注记:之所以要这样考虑，是因为虽然李代数的底空间只来自一阶无穷小，但李括号实则来自于二阶无穷小部分，所以为了捕获李代数的全部信息，只考虑一阶部分是不够的，接下来我们会看到上述无穷小邻域是如何捕获和李括号相关的无穷小信息的.另一点则是为了方便考虑，我们会假设一个到某个结合代数的合适的嵌入$G\to A$，而一些复杂的构造表明这总是可以做到的.

令$k=n=\mathrm{dim}G$，我们定义$G$在单位元处的无穷小邻域为$\mathbb{D}_e(G)=[\mathbb{D}^n,G]_e$，并注意到一个李代数中的元素在这里表现为$v\mapsto v^i\varepsilon_i $ ,我们现在来看看这样对乘法到底有什么好处.
$$\begin{array}
e^